t_math_1-4-2(質問管理番号)

回答日時: 12/27
Q: (14 10
10 14)の固有ベクトルは
(1 -1
1 1)になりますが、この全ての値に対して√2を掛ける理由を教えて下さい。
「大きさを1にしたいので」という表現がよくわかりませんでした。

同じように
(10 8 6
8 8 8
6 8 10)の固有値ベクトル
(1 1 1
1 0 -2
1 -1 1)ここに、それぞれの列に対して√3√2√6を掛ける理由を教えて下さい

A: 固有ベクトルには定数倍の自由度があります((1, 1)が固有ベクトルなら(2, 2)も固有ベクトル)。
すると固有ベクトルは一意に定まらないので、計算する際は一意に定めるためにノルムを1にするという制約を置くのが一般的です。
ですので、
(14 10
10 14)の固有ベクトルは(1, 1), (-1, 1)も正しいですがノルム(ユークリッド距離の平方根)を1にすると(1/√2, 1/√2), (-1/√2, 1/√2)となります。
同様に
(10 8 6
8 8 8
6 8 10)の固有値ベクトルは(1, 1, 1), (1, 0, -1), (1, -2, 1)も正しいですがノルムを1にすると(1/√3, 1/√3, 1/√3,), (1/√2, 0, -1/√2), (1/√6, -2/√6, 1/√6)