p_math_8-1-1(質問管理番号)

回答日時：

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Q：

「それらは
MV = US M^{T}U = VS^{T}
と関係付けられる。したがって
」
の後の変換で
「
M = USV^{-1} M^{T} = VS^{T}U^{-1}
」
と表している部分。

■ご質問内容
U^{-1}, V^{-1}は逆行列を表す記法でしょうか？

Uには逆行列が存在しない（Uは3次元→2次元への変換であるため）ので、この記法の意味が気になりました。
（一般の行列について、逆行列が存在するためには、少なくとも正方行列である必要がある）

A：

ご質問の指摘は妥当なもので、正しくは転置行列と表すべきものです。しかし、ここではわかりやすさのために、逆行列と表しています。

なぜなら、このU行列(やV行列)は特殊な行列(ユニタリ行列)で、U行列の転置行列をU行列に掛けると、
1 0
0 1
といったような単位行列となるからです。

これは、この行列が正規直交のベクトルからできているためなのですが、この内容に関しては込み入った話題になるかと考えて、口頭での補足にとどめたのでした。

なお、質問者さんは、
「Uは正方行列ではなく、したがって逆行列を持たないのではないか？」との旨、指摘されておりますが、

これは正しくなく、U行列やV行列は正方行列であって、逆行列を持ちます。
ユニタリ行列の性質なども含めて、特異値行列に関して、もう少し詳しい解説を、遠くないうちに提出できればと思います。

回答日時：	Season1
Q：	U(左特異値行列)が以下のようになる過程がわかりません。教えていただけますでしょうか。 (1/√2　-1/√2 1/√2　1/√2)
A：	こちらですが、M=USV^(-1)とすると（U, Vは直交行列）、MM^T=US^2U^Tとなるので、MM^Tを固有値分解した結果よりUが求められます。